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题解

어떤 순서로 연산하더라도 전체 비용은 같으며, 정답은

∑i=1NPi−min⁡1≤i≤NPi\sum_{i=1}^{N}P_i-\min_{1\leq i\leq N}P_ii=1∑N​Pi​−1≤i≤Nmin​Pi​

이다. 수열을 한 번 읽으며 합과 최솟값을 구하면 된다. 시간 복잡도는 O(N)O(N)O(N), 추가 공간 복잡도는 O(1)O(1)O(1)이다.

증명

인접한 두 값 x,yx,yx,y를 min⁡(x,y)\min(x,y)min(x,y)로 바꾸면 수열의 합은

x+y−min⁡(x,y)=max⁡(x,y)x+y-\min(x,y)=\max(x,y)x+y
−
min(x,y)=
max(x,y)

만큼 줄어든다. 이 감소량이 바로 해당 연산의 비용이다.

따라서 전체 비용은 처음 수열의 합에서 마지막에 남은 값을 뺀 것과 같다. 어떤 순서로 연산하더라도 마지막에는 원래 수열의 최솟값이 남으므로 위 식을 얻는다.