올해의 순열 1

$2026=45^2+1$이다. 따라서 모든 정수 $d$에 대해

$$d^2+(45d)^2=2026d^2$$

는 $2026$의 배수이다.

$a_i$를

$$a_i=(45(i-1)\bmod 2026)+1$$

로 둔다. $\gcd(45,2026)=1$이므로 $i=1,2,\cdots,2026$에 대해 $a_i$는 $1,2,\cdots,2026$을 정확히 한 번씩 가지는 순열이다.

또한 임의의 $1 \leq i < j \leq 2026$에 대해

$$a_i-a_j \equiv 45(i-j) \pmod{2026}$$

이므로

$$(i-j)^2+(a_i-a_j)^2 \equiv (1+45^2)(i-j)^2 \equiv 0 \pmod{2026}$$

이다. 따라서 이 순열은 올해의 순열이다.

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