루루와 파노의 사과 피라미드 게임

피라미드의 $k$층에는 $N-k+1$개의 자리가 있다. $k\geq 2$일 때, $k$층의 $i$번째 자리는 $k-1$층의 $i$번째 사과와 $i+1$번째 사과의 위에 있다.

루루와 파노는 주어진 선공부터 번갈아 다음 행동을 한 번씩 한다.

1. 아직 사과가 놓이지 않은 자리 중, 바로 아래의 두 자리에 모두 사과가 놓여 있는 자리 하나를 고른다.
2. 바로 아래에 있는 두 사과의 맛의 양의 공약수 중 하나를 골라, 그 값을 맛으로 가지는 사과를 선택한 자리에 놓는다.

모든 자리에 사과를 놓으면 높이가 $N$인 사과 피라미드가 완성된다.

완성된 피라미드의 꼭대기에서 시작하여 $1$층에 도착할 때까지 이동한다. 현재 사과의 바로 아래에 있는 두 사과 중 하나로만 이동할 수 있다.

이때 지나간 $N$개 사과의 맛의 합을 경로의 점수라고 하자. 게임의 점수는 가능한 모든 경로의 점수 중 최댓값이다.

루루는 게임의 점수를 최대화하려 하고, 파노는 게임의 점수를 최소화하려 한다.

두 사람이 모두 최선의 전략을 사용할 때 게임의 점수를 구해 보자.