2025 KMO 2차 고등부 1번 (임시)

아래 조건을 충족하는 모든 양의 정수 $n$을 찾고, 그 외의 값은 불가능함을 증명하세요.

서로 다른 네 양의 정수 $x,y,z,w$를 선택할 수 있으며, 이들은 각각 $n$의 약수이고 다음을 만족합니다.

출처: 대한수학회 · 제39회 한국수학올림피아드, 2025년 고등부 2차시험 오전 1번.

양의 정수는 1 이상의 정수입니다. $d\mid n$은 $n=dk$를 만족하는 정수 $k$가 존재한다는 뜻입니다.

$x,y,z,w$는 두 개씩 모두 달라야 합니다. 양의 약수에는 $1$과 $n$ 자체도 포함됩니다.

제출에는 구한 $n$의 전체 범위와 그 필요충분성을 정당화하는 논증을 함께 적으세요.

정수의 나눗셈과 약수·배수, 최대공약수와 최소공배수의 기본 성질, 유리수의 대소관계와 통상적인 대수 계산은 배경지식으로 사용할 수 있습니다.

약수를 크기순으로 놓거나 대칭성을 이용하는 것은 허용합니다. 계산의 자명한 정리와 부등식의 수치 확인은 생략할 수 있습니다.

반면, 답이 되는 경우의 구성과 나머지 경우가 불가능하다는 분류 논증은 이 문제의 핵심이므로 생략할 수 없습니다. 유한한 범위의 수치 실험만으로 모든 양의 정수에 대한 결론을 대신할 수 없습니다. 참고 해설과 다른 올바른 풀이도 인정합니다.